Упр.407 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Отношение площадей боковой и полной поверхностей конуса $$n$$ равно -. Найдите угол между образующей и плоскостью основания конуса.

Пусть $$CO=h$$, $$OB=r$$, $$l$$ — образующая конуса. Тогда

$$l^2=h^2+r^2.$$

Площадь боковой поверхности конуса:

$$S_{\text{бок}}=\pi rl.$$

Полная поверхность:

$$S_{\text{полн}}=\pi r^2+\pi rl.$$

По условию

$$\frac{S_{\text{бок}}}{S_{\text{полн}}}=\frac{7}{8}.$$

Подставим формулы:

$$\frac{\pi rl}{\pi r^2+\pi rl}=\frac{7}{8}.$$

Сократим на $$\pi r$$:

$$\frac{l}{r+l}=\frac{7}{8}.$$

Тогда

$$8l=7r+7l,$$

$$l=7r.$$

Из равенства $$l^2=h^2+r^2$$ получаем:

$$49r^2=h^2+r^2,$$

$$h^2=48r^2,$$

$$\frac{h^2}{r^2}=48.$$

Угол $$\alpha$$ между образующей и плоскостью основания равен углу между образующей $$CB$$ и её проекцией $$OB$$ на основание, поэтому

$$\tan \alpha=\frac{h}{r}.$$

Тогда

$$\tan^2\alpha=\frac{h^2}{r^2}=48.$$

Используем формулу

$$1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}.$$

Получаем

$$1+48=\frac{1}{\cos^2\alpha},$$

$$49=\frac{1}{\cos^2\alpha},$$

$$\cos\alpha=\frac{1}{7}.$$

Так как угол $$\alpha$$ острый, то

$$\alpha=\arccos\frac{1}{7}.$$

Ответ

$$\arccos\frac{1}{7}$$