Упр.405 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите косинус угла при вершине осевого сечения конуса, имеющего три попарно перпендикулярные образующие.

Обозначим вершину конуса через $$D$$, а точки на окружности основания — через $$B$$, $$C$$ и $$F$$. Пусть образующие конуса равны $$a$$. Тогда

$$DB=DC=DF=a.$$

По условию эти образующие попарно перпендикулярны, значит треугольники $$DBC$$, $$DBF$$ и $$DCF$$ — прямоугольные с прямым углом при вершине $$D$$. Поэтому

$$BC=CF=BF=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.$$

Треугольник $$BCF$$ — равносторонний, следовательно, его описанная окружность имеет радиус

$$R=\frac{BF}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=a\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $$a$$ и основанием, равным диаметру основания конуса, то есть $$2R$$. Обозначим угол при вершине этого сечения через $$\alpha$$. Тогда в треугольнике с сторонами $$a$$, $$a$$ и $$2R$$ по теореме косинусов:

$$ (2R)^2=a^2+a^2-2a\cdot a\cos\alpha $$

Подставим $$R=a\sqrt{\frac{2}{3}}$$:

$$ \left(2a\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2=2a^2-2a^2\cos\alpha $$

$$ \frac{8}{3}a^2=2a^2-2a^2\cos\alpha $$

$$ \frac{8}{3}=2-2\cos\alpha $$

$$ -2\cos\alpha=\frac{2}{3} $$

$$ \cos\alpha=-\frac{1}{3}. $$

Ответ

$$-\frac{1}{3}$$