Упр.402 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите высоту и радиус цилиндра, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, если периметр осевого сечения цилиндра равен 2р.

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $$h$$ и $$2R$$, где $$h$$ — высота цилиндра, $$R$$ — радиус основания.

По условию периметр осевого сечения равен $$2p$$, значит

$$2(h+2R)=2p,$$

откуда

$$h+2R=p,\qquad h=p-2R.$$

Площадь боковой поверхности цилиндра равна

$$S_{бок}=2\pi Rh.$$

Подставим выражение для $$h$$:

$$S_{бок}=2\pi R(p-2R)=2\pi pR-4\pi R^2.$$

Рассмотрим эту площадь как функцию радиуса:

$$f(R)=-4\pi R^2+2\pi pR,\qquad R>0.$$

Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, значит наибольшее значение достигается в вершине:

$$R=\frac{-2\pi p}{2\cdot(-4\pi)}=\frac{p}{4}.$$

Тогда

$$h=p-2R=p-2\cdot\frac{p}{4}=\frac{p}{2}.$$

Ответ

$$R=\frac{p}{4},\qquad h=\frac{p}{2}.$$