Упр.401 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади круга, описанного около его осевого сечения. Найдите отношение радиуса цилиндра к его высоте.
Обозначим радиус цилиндра через $$r$$, а его высоту через $$h$$. Тогда осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $$2r$$ и $$h$$.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна
$$S_{\text{бок}}=2\pi rh.$$
Круг, описанный около осевого сечения, описан около этого прямоугольника. Его радиус равен половине диагонали прямоугольника, поэтому
$$R=\frac{1}{2}\sqrt{h^2+(2r)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{h^2+4r^2}.$$
Тогда площадь этого круга:
$$S_{\text{кр}}=\pi R^2=\pi\cdot \frac{h^2+4r^2}{4}.$$
По условию $$S_{\text{бок}}=S_{\text{кр}}$$, значит
$$2\pi rh=\pi\cdot \frac{h^2+4r^2}{4}.$$
Сократим на $$\pi$$ и умножим на $$4$$:
$$8rh=h^2+4r^2.$$
Пусть $$x=\frac{r}{h}$$. Тогда, разделив равенство на $$h^2$$, получаем
$$8x=1+4x^2.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$4x^2-8x+1=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$x=\frac{8\pm\sqrt{64-16}}{8}=\frac{8\pm4\sqrt{3}}{8}=\frac{2\pm\sqrt{3}}{2}.$$
Следовательно, отношение радиуса цилиндра к его высоте равно
$$\frac{r}{h}=\frac{2\pm\sqrt{3}}{2}.$$
Ответ
$$\frac{r}{h}=\frac{2\pm\sqrt{3}}{2}$$