Упр.400 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите отношение площадей полной и боковой поверхностей цилиндра, если осевое сечение цилиндра представляет собой: а) квадрат; б) прямоугольник $$ABCD$$, в котором $$AB:AD=1:2$$.

Пусть радиус основания цилиндра равен $$r$$, а высота — $$h$$. Тогда

$$S_{\text{бок}}=2\pi rh,\qquad S_{\text{полн}}=2\pi rh+2\pi r^2.$$

а) Осевое сечение — квадрат

Если осевое сечение — квадрат, то его сторона равна и высоте цилиндра, и диаметру основания:

$$h=2r.$$

Тогда

$$S_{\text{бок}}=2\pi r\cdot 2r=4\pi r^2,$$

$$S_{\text{полн}}=4\pi r^2+2\pi r^2=6\pi r^2.$$

Следовательно,

$$\frac{S_{\text{полн}}}{S_{\text{бок}}}=\frac{6\pi r^2}{4\pi r^2}=\frac{3}{2}.$$

б) Осевое сечение — прямоугольник $$ABCD$$, где $$AB:AD=1:2$$

В осевом сечении одна сторона равна диаметру основания, а другая — высоте цилиндра. Пусть $$AB=a$$, тогда $$AD=2a$$. Значит,

$$2r=AB=a,\qquad h=AD=2a,$$

откуда

$$r=\frac{a}{2}.$$

Теперь найдём площади:

$$S_{\text{бок}}=2\pi rh=2\pi\cdot \frac{a}{2}\cdot 2a=2\pi a^2,$$

$$S_{\text{полн}}=2\pi a^2+2\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2=2\pi a^2+\frac{\pi a^2}{2}=\frac{5\pi a^2}{2}.$$

Тогда

$$\frac{S_{\text{полн}}}{S_{\text{бок}}}=\frac{\frac{5\pi a^2}{2}}{2\pi a^2}=\frac{5}{4}.$$

Ответ: а) $$\frac{3}{2}$$; б) $$\frac{5}{4}$$.