Упр.40 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. На скрещивающихся прямых $$a$$ и $$b$$ отмечены соответственно точки $$M$$ и $$N$$. Через прямую $$a$$ и точку $$N$$ проведена плоскость $$\alpha$$, а через прямую $$b$$ и точку $$M$$ — плоскость $$\beta$$.
   а) Лежит ли прямая $$b$$ в плоскости $$\alpha$$?
   б) Пересекаются ли плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$? При положительном ответе укажите прямую, по которой они пересекаются.

Пусть $$\alpha$$ — плоскость, проведённая через прямую $$a$$ и точку $$N$$, а $$\beta$$ — плоскость, проведённая через прямую $$b$$ и точку $$M$$.

а) Предположим, что $$b \subset \alpha$$. Тогда прямые $$a$$ и $$b$$ лежат в одной плоскости $$\alpha$$, а это противоречит условию: $$a$$ и $$b$$ — скрещивающиеся прямые. Значит,

$$b \not\subset \alpha.$$

б) Так как $$M \in a$$ и $$a \subset \alpha$$, то $$M \in \alpha$$. Аналогично, из $$N \in b$$ и $$b \subset \beta$$ получаем $$N \in \beta$$.

Следовательно, прямая $$MN$$ лежит в плоскости $$\alpha$$ и в плоскости $$\beta$$, то есть

$$MN \subset \alpha \cap \beta.$$

Плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ не совпадают, так как если бы они совпадали, то в одной плоскости лежали бы прямые $$a$$ и $$b$$, что невозможно для скрещивающихся прямых. Значит, плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$MN$$.

Ответ: $$b \not\subset \alpha$$; $$\alpha \cap \beta = MN$$.