Упр.40 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Ha скрещивающихся прямых а и b отмечены соответственно точки M и N. Через прямую а и точку N проведена плоскость а, a через прямую b и точку M — плоскость p. a) Лежит ли прямая b в плоскости а? б) Пересекаются ли плоскости а и P? При положительном ответе укажите прямую, по которой они пересекаются.

Подробный ответ

а) Предположим, что $$b \subset \alpha$$. Тогда прямые $$a$$ и $$b$$ лежат в одной плоскости $$\alpha$$. Но по условию прямые $$a$$ и $$b$$ скрещивающиеся, значит, они не могут лежать в одной плоскости. Получаем противоречие. Следовательно, $$b \not\subset \alpha$$.

б) Так как $$N \in b$$ и $$b \subset \beta$$, то $$N \in \beta$$. Кроме того, $$M \in a$$ и $$a \subset \alpha$$, значит, $$M \in \alpha$$. Следовательно, точки $$M$$ и $$N$$ принадлежат обеим плоскостям $$\alpha$$ и $$\beta$$, поэтому прямая $$MN$$ лежит в обеих плоскостях.

Плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ не совпадают, так как прямая $$a$$ лежит в $$\alpha$$, а прямая $$b$$ лежит в $$\beta$$, и при этом $$a$$ и $$b$$ скрещивающиеся. Значит, плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$MN$$.