Исследовательские задачи Упр.4 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите число попарно неравных друг другу равносторонних треугольников, все вершины которых принадлежат окружностям оснований цилиндра радиуса $$R$$ с высотой $$h$$.
Рассмотрим равносторонний треугольник $$ABC$$, вершины которого лежат на окружностях оснований цилиндра. Пусть $$AB=a$$, а точка $$M$$ — середина стороны $$AB$$. Тогда $$CM\perp AB$$ и
$$AM=BM=\frac a2,\qquad \angle CAB=60^\circ.$$
Из прямоугольного треугольника $$ACM$$ получаем
$$CM=AC\sin 60^\circ=\frac{a\sqrt3}{2}.$$
Рассмотрим равнобедренный треугольник $$AHB$$, где $$H$$ — центр нижнего основания цилиндра. Тогда
$$HM=\sqrt{CM^2-CH^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}-h^2}=\frac a2\sqrt{3-\left(\frac{2h}{a}\right)^2}.$$
Площадь треугольника $$AHB$$ равна
$$S_{AHB}=\frac{AB\cdot HM}{2}=\frac a2\cdot \frac a2\sqrt{3-\left(\frac{2h}{a}\right)^2}=\frac{a^2}{4}\sqrt{3-\left(\frac{2h}{a}\right)^2}.$$
Кроме того,
$$BH=AH=\sqrt{AM^2+HM^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}-h^2}=\sqrt{a^2-h^2}.$$
По формуле для радиуса описанной окружности треугольника
$$R=\frac{AH\cdot BH\cdot AB}{4S_{AHB}}=\frac{(a^2-h^2)a}{4\cdot \frac{a^2}{4}\sqrt{3-\left(\frac{2h}{a}\right)^2}}=\frac{a^2-h^2}{\sqrt{3a^2-4h^2}}.$$
После преобразований получаем уравнение относительно $$a^2$$:
$$a^4-(2h^2+3R^2)a^2+h^4=0.$$
Пусть $$x=a^2$$. Тогда
$$x^2-(2h^2+3R^2)x+h^4=0.$$
Число различных равносторонних треугольников определяется числом положительных корней этого уравнения. Дискриминант равен
$$D=(2h^2+3R^2)^2-4h^4=9R^4+12R^2h^2>0,$$
поэтому корни различны. Один из них положителен всегда, а второй положителен тогда и только тогда, когда
$$R\ge \frac{2h}{3}.$$
Следовательно:
$$\begin{cases} R<\dfrac{2h}{3} — \text{один треугольник},\\[4pt] R=\dfrac{2h}{3} — \text{два треугольника},\\[4pt] R>\dfrac{2h}{3} — \text{три треугольника}. \end{cases}$$
