Исследовательские задачи Упр.4 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите число попарно неравных друг другу равносторонних треугольников, все вершины которых принадлежат окружностям оснований цилиндра радиуса R с высотой h.
Пусть сторона равностороннего треугольника равна $$a$$. Один такой треугольник всегда можно вписать в окружность основания цилиндра.
Рассмотрим равносторонний треугольник $$ABC$$, у которого точки $$A$$ и $$B$$ лежат на окружности нижнего основания, а точка $$C$$ — на окружности верхнего основания. Тогда $$AB=a$$, а высота из вершины $$C$$ к стороне $$AB$$ проходит через середину $$M$$ этой стороны.
Так как $$\angle CAB=60^\circ$$, то
$$ CM=AC\sin 60^\circ=\frac{a\sqrt{3}}{2}. $$
В прямоугольном треугольнике $$CHM$$, где $$CH=h$$, получаем
$$ HM=\sqrt{CM^2-CH^2} =\sqrt{\frac{3a^2}{4}-h^2} =\frac{a}{2}\sqrt{3-\left(\frac{2h}{a}\right)^2}. $$
Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник $$AHB$$. Его площадь равна
$$ S_{AHB}=\frac{AB\cdot HM}{2} =\frac{a}{2}\cdot \frac{a}{2}\sqrt{3-\left(\frac{2h}{a}\right)^2} =\frac{a^2}{4}\sqrt{3-\left(\frac{2h}{a}\right)^2}. $$
Кроме того,
$$ BH=AH=\sqrt{AM^2+HM^2} =\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}-h^2} =\sqrt{a^2-h^2}. $$
Радиус описанной окружности около треугольника $$AHB$$ равен
$$ R=\frac{AH\cdot BH\cdot AB}{4S_{AHB}} =\frac{(a^2-h^2)a}{4\cdot \frac{a^2}{4}\sqrt{3-\left(\frac{2h}{a}\right)^2}} =\frac{a^2-h^2}{a\sqrt{3-\left(\frac{2h}{a}\right)^2}}. $$
Возведём в квадрат и выразим $$a^2$$:
$$ R^2=\frac{(a^2-h^2)^2}{3a^2-4h^2} $$
$$ 3a^2R^2-4h^2R^2=a^4-2a^2h^2+h^4. $$
Обозначим $$x=a^2$$. Тогда
$$ x^2-(2h^2+3R^2)x+(h^4+4R^2h^2)=0. $$
Чтобы существовал такой треугольник, это уравнение должно иметь неотрицательные корни. Его дискриминант:
$$ D=(2h^2+3R^2)^2-4(h^4+4R^2h^2)=9R^4-4R^2h^2=R^2(9R^2-4h^2). $$
Следовательно, необходимо и достаточно, чтобы
$$ 9R^2-4h^2\ge 0, $$
то есть
$$ R\ge \frac{2h}{3}. $$
При $$R<\frac{2h}{3}$$ существует только один равносторонний треугольник — вписанный в основание цилиндра.
При $$R=\frac{2h}{3}$$ появляется ещё один, и всего их два.
При $$R>\frac{2h}{3}$$ возможны уже три попарно неравных равносторонних треугольника.
Ответ
При $$R<\frac{2h}{3}$$ — один треугольник; при $$R=\frac{2h}{3}$$ — два треугольника; при $$R>\frac{2h}{3}$$ — три треугольника.