Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.4 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Две стороны треугольника равны $$3$$ и $$6$$, а угол между ними равен $$60^\circ$$. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла.
Обозначим стороны треугольника так: $$AC=3,$$ $$BC=6,$$ $$\angle C=60^\circ,$$ а $$CD$$ — биссектриса угла $$C.$$
Сначала найдём сторону $$AB$$ по теореме косинусов:
$$AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cos C$$
$$AB^2=3^2+6^2-2\cdot 3\cdot 6\cdot \cos 60^\circ =9+36-36\cdot \frac12=27$$
Значит, $$AB=3\sqrt{3}.$$
По теореме о биссектрисе:
$$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{6}=\frac12$$
Следовательно, $$AD=\frac13\,AB=\sqrt{3},$$ а $$DB=2\sqrt{3}.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$ACD.$$ Угол $$ACD$$ равен половине угла $$C$$, то есть $$30^\circ.$$ По теореме косинусов:
$$AD^2=AC^2+CD^2-2\cdot AC\cdot CD\cos 30^\circ$$
Подставим значения:
$$(\sqrt{3})^2=3^2+CD^2-2\cdot 3\cdot CD\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$3=9+CD^2-3\sqrt{3}\,CD$$
$$CD^2-3\sqrt{3}\,CD+6=0$$
Решим квадратное уравнение:
$$D= (3\sqrt{3})^2-4\cdot 1\cdot 6=27-24=3$$
$$CD=\frac{3\sqrt{3}\pm \sqrt{3}}{2}$$
Берём положительный корень, соответствующий длине биссектрисы:
$$CD=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$$
Ответ: $$2\sqrt{3}.$$
