Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.4 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ известны длины рёбер: $$AA_1=5$$, $$AB=12$$ и $$AD=8$$. Найдите тангенс угла между плоскостью $$ABC$$ и плоскостью, проходящей через точку $$B$$ перпендикулярно к прямой $$AK$$, где точка $$K$$ — середина ребра $$C_1D_1$$.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1.$$ Плоскость $$ABC$$ — это плоскость основания, а искомая плоскость проходит через точку $$B$$ и перпендикулярна прямой $$AK,$$ где $$K$$ — середина ребра $$C_1D_1.$$

Найдём угол между плоскостями. Он равен углу между прямой $$AK$$ и её проекцией на плоскость $$ABC.$$ Проекция точки $$K$$ на плоскость основания — середина ребра $$CD,$$ а значит, проекция прямой $$AK$$ на плоскость $$ABC$$ — это прямая $$A_1K$$, где $$A_1$$ — вершина над точкой $$A$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$A_1D_1K.$$ В нём

$$A_1D_1=AD=8,$$
$$D_1K=\frac{D_1C_1}{2}=\frac{AB}{2}=6.$$

Тогда по теореме Пифагора

$$A_1K^2=A_1D_1^2+D_1K^2=8^2+6^2=64+36=100,$$
$$A_1K=10.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$AA_1K$$ получаем

$$\tan \angle A_1AK=\frac{A_1K}{AA_1}=\frac{10}{5}=2.$$

Следовательно, тангенс угла между плоскостью $$ABC$$ и искомой плоскостью равен $$2$$.

Ответ: $$2$$.