Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.4 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Две стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними равен 60°. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла.

Обозначим стороны треугольника так, что $$AC=3,$$ $$BC=6,$$ а $$CD$$ — биссектриса угла $$C.$$

По теореме о биссектрисе:

$$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},$$

значит, $$AD=\frac{1}{3}AB.$$

Найдём сторону $$AB$$ по теореме косинусов в треугольнике $$ABC$$:

$$ AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cos 60^\circ $$

$$ AB^2=3^2+6^2-2\cdot 3\cdot 6\cdot \frac12=9+36-18=27, $$

откуда

$$AB=3\sqrt{3}.$$

Тогда

$$AD=\frac{AB}{3}=\sqrt{3}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ACD.$$ Угол $$ACD$$ равен половине угла $$C$$, то есть

$$\angle ACD=30^\circ.$$

По теореме косинусов:

$$ AD^2=AC^2+CD^2-2\cdot AC\cdot CD\cos 30^\circ $$

$$ 3=9+CD^2-2\cdot 3\cdot CD\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, $$

$$ CD^2-3\sqrt{3}\,CD+6=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=(3\sqrt{3})^2-4\cdot 6=27-24=3, $$

$$ CD=\frac{3\sqrt{3}\pm \sqrt{3}}{2}. $$

Получаем два значения: $$CD=\sqrt{3}$$ или $$CD=2\sqrt{3}.$$

Так как биссектриса в треугольнике с сторонами $$3$$ и $$6$$ должна быть больше меньшей стороны и меньше большей, подходит значение $$CD=2\sqrt{3}.$$

Ответ

$$2\sqrt{3}$$