Упр.399 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. При вращении прямоугольника вокруг неравных сторон получаются цилиндры, площади полных поверхностей которых равны $$S_1$$ и $$S_2$$. Найдите диагональ прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$.

При вращении вокруг стороны $$a$$ получаем цилиндр с высотой $$a$$ и радиусом $$b$$. Тогда площадь его полной поверхности равна

$$S_1=2\pi b a+2\pi b^2=2\pi b(a+b).$$

При вращении вокруг стороны $$b$$ получаем цилиндр с высотой $$b$$ и радиусом $$a$$. Тогда

$$S_2=2\pi a b+2\pi a^2=2\pi a(a+b).$$

Из этих равенств получаем

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{b}{a}, \qquad b=\frac{aS_1}{S_2}.$$

Подставим это в формулу для $$S_1$$:

$$S_1=2\pi \cdot \frac{aS_1}{S_2}\left(a+\frac{aS_1}{S_2}\right) =2\pi a^2\frac{S_1(S_1+S_2)}{S_2^2}.$$

Отсюда

$$a^2=\frac{S_2^2}{2\pi(S_1+S_2)}, \qquad b^2=\frac{S_1^2}{2\pi(S_1+S_2)}.$$

Диагональ прямоугольника найдём по теореме Пифагора:

$$d=\sqrt{a^2+b^2} =\sqrt{\frac{S_2^2}{2\pi(S_1+S_2)}+\frac{S_1^2}{2\pi(S_1+S_2)}}$$

$$d=\sqrt{\frac{S_1^2+S_2^2}{2\pi(S_1+S_2)}}.$$

Ответ: $$\sqrt{\frac{S_1^2+S_2^2}{2\pi(S_1+S_2)}}$$.