Упр.398 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что если плоскость параллельна оси цилиндра и расстояние между этой плоскостью и осью равно радиусу цилиндра, то плоскость содержит образующую цилиндра, и притом только одну. (В этом случае плоскость называется касательной плоскостью к цилиндру.)

Введём систему координат так, чтобы ось цилиндра совпадала с осью $$Oz$$. Тогда плоскость $$\alpha$$, параллельная оси цилиндра, будет параллельна оси $$Oz$$.

Рассмотрим сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси $$Oz$$. Это окружность радиуса $$R$$. Так как расстояние от плоскости $$\alpha$$ до оси цилиндра равно $$R$$, то в этой окружности прямая, полученная пересечением плоскости $$\alpha$$ с плоскостью сечения, является касательной к окружности.

Следовательно, эта прямая имеет с окружностью одну общую точку. Через эту точку проходит единственная образующая цилиндра, параллельная оси $$Oz$$, и она лежит в плоскости $$\alpha$$.

Покажем, что других образующих в плоскости $$\alpha$$ нет. Если бы в плоскости $$\alpha$$ лежала ещё одна образующая, то в сечении цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси, прямая пересекала бы окружность ещё в одной точке. Но касательная к окружности имеет с ней только одну общую точку. Противоречие.

Значит, плоскость $$\alpha$$ содержит ровно одну образующую цилиндра.

Ответ

Плоскость, параллельная оси цилиндра и удалённая от неё на расстояние, равное радиусу цилиндра, является касательной плоскостью и содержит ровно одну образующую цилиндра.