Упр.398 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что если плоскость параллельна оси цилиндра и расстояние между этой плоскостью и осью равно радиусу цилиндра, то плоскость содержит образующую цилиндра, и притом только одну.

Введём систему координат так, чтобы ось цилиндра совпадала с осью $$Oz$$, а плоскость $$\alpha$$ была параллельна этой оси. Тогда плоскость $$\alpha$$ можно считать параллельной оси $$Oz$$ и, значит, перпендикулярной плоскости основания цилиндра.

Пусть основание цилиндра лежит в плоскости $$Oxy$$, а его радиус равен $$R$$. Тогда расстояние от оси цилиндра до плоскости $$\alpha$$ равно расстоянию от центра основания до следа этой плоскости в основании. По условию оно равно $$R$$.

Следовательно, в плоскости основания через точку, находящуюся на расстоянии $$R$$ от центра окружности основания, можно провести только одну прямую, касательную к этой окружности. Эта прямая и есть след плоскости $$\alpha$$ в основании цилиндра.

Через каждую точку касания окружности основания проходит единственная образующая цилиндра, параллельная оси $$Oz$$. Так как плоскость $$\alpha$$ параллельна оси цилиндра и касается основания по одной прямой, то она содержит ровно одну образующую цилиндра — ту, которая проходит через точку касания.

Итак, плоскость $$\alpha$$ содержит образующую цилиндра, и притом только одну. Значит, такая плоскость является касательной плоскостью к цилиндру.