Упр.397 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Вершины \(A\) и \(B\) прямоугольника \(ABCD\) лежат на окружности одного из оснований цилиндра, а вершины \(C\) и \(D\) — на окружности другого основания. Вычислите радиус цилиндра, если его образующая равна $$a$$, $$AB=a$$, а угол между прямой $$BC$$ и плоскостью основания равен $$60^\circ$$.
Обозначим центр верхнего основания цилиндра через $$O_1$$, а центр нижнего — через $$O$$. Тогда $$O_1M \perp AB$$ и $$ON \perp DC$$, где $$M$$ и $$N$$ — середины отрезков $$AB$$ и $$DC$$ соответственно.
Так как прямоугольник $$ABCD$$, то $$AB \parallel DC$$ и $$BC \parallel AD$$. Следовательно, $$MN \parallel BC$$, а угол между прямой $$BC$$ и плоскостью основания равен углу между $$MN$$ и её проекцией на основание. Значит, $$\angle MNO=60^\circ$$.
Поскольку $$AB=DC=a$$, то
$$MN=BC=O_1O=a.$$
В прямоугольном треугольнике $$O_1MB$$ имеем
$$O_1M=\sqrt{R^2-\left(\frac a2\right)^2}.$$
Аналогично в нижнем основании
$$ON=\sqrt{R^2-\left(\frac a2\right)^2}.$$
Из равенства соответствующих отрезков получаем $$O_1M=ON$$, поэтому в треугольнике $$O_1MN$$
$$O_1N=O_1M+MN=a.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ONL$$, где $$L$$ — проекция точки $$O_1$$ на плоскость нижнего основания. Тогда
$$\tan 60^\circ=\frac{OL}{ON}=\sqrt{3},$$
откуда
$$OL=\sqrt{3}\,ON=\sqrt{3}\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}.$$
Но $$OL=O_1O=a$$, значит
$$\sqrt{3}\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}=a.$$
Возводим в квадрат:
$$3\left(R^2-\frac{a^2}{4}\right)=a^2,$$
$$3R^2-\frac{3a^2}{4}=a^2,$$
$$3R^2=\frac{7a^2}{4},$$
$$R^2=\frac{7a^2}{12}.$$
Следовательно,
$$R=\frac{a\sqrt{21}}{6}$$.
