Упр.396 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Площадь осевого сечения цилиндра равна $$S$$. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через середину радиуса основания перпендикулярно к этому радиусу.

Пусть радиус основания цилиндра равен $$r$$, а высота — $$h$$.

Площадь осевого сечения — прямоугольника со сторонами $$2r$$ и $$h$$, значит

$$S=2r\cdot h.$$

Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через середину радиуса основания и перпендикулярно этому радиусу. В основании цилиндра это сечение даёт хорду, проходящую через середину радиуса и перпендикулярную ему.

Пусть $$O$$ — центр основания, $$P$$ — середина радиуса, тогда $$OP=\dfrac r2$$. Если $$M$$ и $$N$$ — концы хорды, то $$OM=ON=r$$ и $$OP\perp MN$$. В прямоугольном треугольнике $$OPN$$:

$$PN=\sqrt{ON^2-OP^2}=\sqrt{r^2-\left(\frac r2\right)^2}=\sqrt{\frac{3r^2}{4}}=\frac{r\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$MN=2PN=r\sqrt3.$$

Искомое сечение — прямоугольник со сторонами $$MN$$ и $$h$$, поэтому его площадь равна

$$S_1=MN\cdot h=r\sqrt3\cdot h.$$

Из формулы $$S=2r\cdot h$$ получаем $$rh=\dfrac S2$$. Следовательно,

$$S_1=\sqrt3\cdot rh=\sqrt3\cdot \frac S2=\frac{S\sqrt3}{2}.$$

Ответ: $$\frac{S\sqrt3}{2}$$.