Упр.396 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Площадь осевого сечения цилиндра равна S. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через середину радиуса основания перпендикулярно к этому радиусу.

Обозначим радиус основания цилиндра через $$r$$, а высоту — через $$h$$.

Площадь осевого сечения цилиндра равна площади прямоугольника со сторонами $$2r$$ и $$h$$, значит

$$S=2rh.$$

Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через середину радиуса основания и перпендикулярно этому радиусу. В основании цилиндра это сечение даёт хорду, проходящую через середину радиуса и перпендикулярную ему.

Пусть $$O$$ — центр основания, $$P$$ — середина радиуса, тогда $$OP=\frac r2$$. Если $$N$$ — конец соответствующей хорды, то в прямоугольном треугольнике $$OPN$$ имеем

$$PN=\sqrt{r^2-\left(\frac r2\right)^2}=\sqrt{r^2-\frac{r^2}{4}}=\frac{r\sqrt3}{2}.$$

Так как хорда симметрична относительно диаметра, её длина равна

$$MN=2PN=r\sqrt3.$$

Искомое сечение — прямоугольник со сторонами $$MN$$ и $$h$$, поэтому

$$S_1=MN\cdot h=r\sqrt3\cdot h.$$

Из равенства $$S=2rh$$ получаем

$$rh=\frac S2,$$

следовательно,

$$S_1=\sqrt3\cdot \frac S2=\frac{S\sqrt3}{2}.$$

Ответ: $$\frac{S\sqrt3}{2}$$.