Упр.394 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Радиусы сечений сферы двумя взаимно перпендикулярными плоскостями равны $$r_1$$ и $$r_2$$. Найдите площадь сферы, если сечения имеют единственную общую точку.

Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через центры данных сечений и точку их единственного пересечения. Тогда в этом сечении получаем прямоугольный треугольник с катетами $$r_1$$ и $$r_2$$ и гипотенузой $$R$$ — радиусом сферы.

Так как плоскости сечений взаимно перпендикулярны, угол между радиусами, проведёнными к точке их пересечения, равен $$90^\circ$$. Значит, по теореме Пифагора:

$$R^2=r_1^2+r_2^2.$$

Площадь сферы равна

$$S=4\pi R^2=4\pi\left(r_1^2+r_2^2\right).$$

Ответ: $$4\pi\left(r_1^2+r_2^2\right).$$