Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.39 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основания трапеции равны $$a$$ и $$b$$. Прямая, параллельная основаниям, разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как $$2:3$$. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри трапеции.
Обозначим через $$x$$ длину отрезка прямой, заключённого внутри трапеции.
Пусть основания трапеции равны $$a$$ и $$b$$, а прямая, параллельная основаниям, делит трапецию на две трапеции с площадями $$S_1$$ и $$S_2$$, причём
$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{2}{3}.$$
Рассмотрим трапецию как часть большого треугольника с вершиной в точке пересечения продолжений боковых сторон. Тогда все сечения, параллельные основаниям, подобны соответствующим основаниям, а их линейные размеры относятся как соответствующие основания.
Пусть длина искомого отрезка равна $$x$$. Тогда для верхней и нижней частей трапеции получаем:
$$\frac{S_1}{S}=\frac{x^2-b^2}{a^2-b^2}, \qquad \frac{S_2}{S}=\frac{a^2-x^2}{a^2-b^2},$$
где $$S$$ — площадь всей трапеции. Из условия
$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{2}{3}$$
следует
$$\frac{x^2-b^2}{a^2-x^2}=\frac{2}{3}.$$
Решим это уравнение:
$$3(x^2-b^2)=2(a^2-x^2),$$
$$3x^2-3b^2=2a^2-2x^2,$$
$$5x^2=2a^2+3b^2,$$
$$x=\sqrt{\frac{2a^2+3b^2}{5}}.$$
Если же верхняя и нижняя трапеции поменяны местами, получится эквивалентная формула
$$x=\sqrt{\frac{3a^2+2b^2}{5}}.$$
Ответ: $$\sqrt{\frac{2a^2+3b^2}{5}}$$ или $$\sqrt{\frac{3a^2+2b^2}{5}}$$.
