Упр.387 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Радиус сферы равен $$112\ \text{см}$$. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на $$15\ \text{см}$$. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.

Пусть $$O$$ — центр сферы, $$P$$ — точка касания плоскости со сферой, $$A$$ — данная точка на плоскости. Тогда $$OP \perp \alpha$$, где $$\alpha$$ — касательная плоскость, а значит, треугольник $$AOP$$ прямоугольный.

Так как $$OP=R=112$$ см, $$AP=15$$ см, то по теореме Пифагора

$$OA=\sqrt{OP^2+AP^2}=\sqrt{112^2+15^2}=\sqrt{12544+225}=\sqrt{12769}=113\text{ см}.$$

Ближайшая к точке $$A$$ точка сферы лежит на отрезке $$AO$$ и находится на расстоянии радиуса от центра, поэтому искомое расстояние равно

$$OA-R=113-112=1\text{ см}.$$

Ответ: $$1\text{ см}$$.