Упр.387 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр сферы, $$R=112$$ см — её радиус, $$P$$ — данная точка на касательной плоскости, $$K$$ — точка касания, причём $$KP=15$$ см.

Рассмотрим любую точку $$N$$ сферы. Тогда расстояние от точки $$P$$ до точки $$N$$ не меньше, чем до ближайшей точки сферы. Нужно найти минимальное значение $$PN$$.

Так как плоскость касается сферы в точке $$K$$, то радиус $$OK$$ перпендикулярен этой плоскости, значит $$OK \perp KP$$. Следовательно, треугольник $$OKP$$ прямоугольный, и

$$ OP=\sqrt{OK^2+KP^2}=\sqrt{112^2+15^2}=\sqrt{12544+225}=\sqrt{12769}=113\text{ см}. $$

Ближайшая к точке $$P$$ точка сферы лежит на прямой $$OP$$ и находится на расстоянии одного радиуса от центра сферы. Поэтому искомое расстояние равно

$$ OP-R=113-112=1\text{ см}. $$