Упр.386 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Сфера касается граней двугранного угла в $$120^\circ$$. Найдите радиус сферы и расстояние между точками касания, если расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла равно $$a$$.

Пусть плоскость, проходящая через центр сферы $$O$$ и перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани по прямым $$m$$ и $$n$$. Тогда точки касания сферы с гранями обозначим через $$A$$ и $$B$$, а точку пересечения плоскости с ребром — через $$C$$.

По свойству перпендикуляра к плоскости расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла равно расстоянию от точки $$O$$ до прямой $$MN$$, то есть $$OC=a$$.

Так как сфера касается обеих граней, то радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны этим граням:

$$OA\perp n,\qquad OB\perp m.$$

Кроме того, в сечении двугранного угла получаем $$\angle ACB=120^\circ$$, а прямая $$OC$$ является биссектрисой этого угла. Значит,

$$\angle OCA=60^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$OCA$$ имеем

$$\sin 60^\circ=\frac{OA}{OC}.$$

Отсюда

$$R=OA=OC\sin 60^\circ=a\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{2}.$$

Теперь найдём расстояние между точками касания $$A$$ и $$B$$. Треугольник $$AOB$$ равнобедренный, так как $$OA=OB=R$$. Угол между гранями двугранного угла равен $$120^\circ$$, поэтому

$$\angle AOB=120^\circ.$$

Тогда

$$AB=2R\sin\frac{\angle AOB}{2}=2R\sin 60^\circ=R\sqrt3.$$

Подставляя найденное значение $$R$$, получаем

$$AB=\frac{a\sqrt3}{2}\cdot \sqrt3=\frac{3a}{2}.$$

Ответ: $$R=\frac{a\sqrt3}{2},\quad AB=\frac{3a}{2}.$$