Упр.386 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Сфера касается граней двугранного угла в 120°. Найдите радиус сферы и расстояние между точками касания, если расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла равно а.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр сферы, $$MN$$ — ребро двугранного угла, $$A$$ и $$B$$ — точки касания сферы с его гранями.

Проведём плоскость, перпендикулярную ребру $$MN$$ и проходящую через центр $$O$$. Она пересечёт грани двугранного угла по прямым $$OA$$ и $$OB$$, а ребро $$MN$$ — в точке $$C$$.

Так как сфера касается граней угла, то $$OA \perp$$ одной грани, $$OB \perp$$ другой грани, значит $$OA \perp AC$$ и $$OB \perp BC$$. Кроме того, $$OC$$ — расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла, поэтому $$OC=a$$.

В сечении получаем угол $$\angle ACB=120^\circ$$, а прямая $$OC$$ является биссектрисой этого угла. Следовательно,

$$\angle OCA=60^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$OCA$$ имеем

$$\sin 60^\circ=\frac{OA}{OC}.$$

Отсюда радиус сферы

$$R=OA=OC\sin 60^\circ=a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Теперь найдём расстояние между точками касания $$A$$ и $$B$$. Треугольник $$AOB$$ равнобедренный, так как $$OA=OB=R$$. Из симметрии сечения относительно $$OC$$ получаем, что $$OC$$ — биссектриса угла $$AOB$$, значит

$$\angle AOC=\angle COB=60^\circ.$$

Тогда в треугольнике $$AOB$$ все углы равны $$60^\circ$$, следовательно, он равносторонний, и

$$AB=OA=R=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$