Упр.385 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Через точку сферы радиуса $$R$$, которая является границей данного шара, проведены две плоскости, одна из которых является касательной к сфере, а другая наклонена под углом $$\varphi$$ к касательной плоскости. Найдите площадь сечения данного шара.

Пусть плоскость $$\beta$$ пересекает шар по окружности с центром $$O_1$$ и радиусом $$r$$. Тогда площадь сечения равна

$$S=\pi r^2.$$

Проведём через центр шара $$O$$ радиус $$OB$$ к точке $$B$$ окружности сечения и опустим из $$O$$ перпендикуляр $$OO_1$$ на плоскость $$\beta$$. Тогда $$OO_1\perp \beta$$, а значит $$O_1B$$ лежит в плоскости $$\beta$$ и $$OO_1\perp O_1B$$.

Плоскость $$\alpha$$ касается сферы в точке $$C$$, поэтому радиус $$OC$$ перпендикулярен плоскости $$\alpha$$. Угол между плоскостями $$\alpha$$ и $$\beta$$ равен $$\varphi$$, следовательно, в сечении плоскостью, проходящей через $$O$$, $$C$$ и $$B$$, получаем

$$\angle OCB=\varphi,$$

а так как $$\triangle OCB$$ равнобедренный, то

$$\angle OBC=\angle OCB=\varphi.$$

Из прямоугольного треугольника $$OO_1B$$ имеем

$$r=O_1B=OB\sin\varphi=R\sin\varphi.$$

Тогда

$$S=\pi r^2=\pi (R\sin\varphi)^2=\pi R^2\sin^2\varphi.$$

Ответ: $$\pi R^2\sin^2\varphi$$.