Упр.384 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Секущая плоскость проходит через конец диаметра сферы радиуса $$R$$ так, что угол между диаметром и плоскостью равен $$\alpha$$. Найдите длину окружности, получившейся в сечении, если: а) $$R=2\text{ см}$$, $$\alpha=30^\circ$$; б) $$R=5\text{ м}$$, $$\alpha=45^\circ$$.

Пусть $$O$$ — центр сферы, $$AB$$ — диаметр, лежащий в плоскости сечения, а $$O_1$$ — центр окружности сечения. Тогда $$OO_1 \perp$$ плоскости сечения, значит $$OO_1 \perp O_1B$$.

Треугольник $$OO_1B$$ прямоугольный, причём $$OB=R$$, а угол между диаметром $$OB$$ и плоскостью равен $$\alpha$$, то есть $$\angle OBO_1=\alpha$$. Поэтому

$$O_1B=R\cos\alpha.$$

Но $$O_1B$$ — это радиус окружности сечения, значит

$$L=2\pi O_1B=2\pi R\cos\alpha.$$

Теперь найдём длину окружности в каждом случае.

а) $$R=2\text{ см},\ \alpha=30^\circ$$

$$L=2\pi\cdot 2\cdot \cos 30^\circ=4\pi\cdot \frac{\sqrt3}{2}=2\pi\sqrt3\text{ см}.$$

б) $$R=5\text{ м},\ \alpha=45^\circ$$

$$L=2\pi\cdot 5\cdot \cos 45^\circ=10\pi\cdot \frac{\sqrt2}{2}=5\pi\sqrt2\text{ м}.$$

Ответ: а) $$2\pi\sqrt3\text{ см}$$; б) $$5\pi\sqrt2\text{ м}$$.