Упр.381 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Отрезок OH — высота тетраэдра OABC. Выясните взаимное расположение сферы радиуса R с центром O и плоскости ABC, если: а) R = 6 дм, OH = 60 см; б) R = 3 м, OH = 95 см; в) R = 5 дм, OH — 45 см; г) R = 3,5 дм, OH = 40 см.

Обозначим через $$d=OH$$ расстояние от центра сферы до плоскости $$ABC$$. Так как $$OH$$ — высота тетраэдра, то $$OH \perp ABC$$, значит действительно $$d=OH$$.

Взаимное расположение сферы и плоскости определяется сравнением $$R$$ и $$d$$:

• если $$R=d$$, то плоскость касается сферы;
• если $$R>d$$, то плоскость пересекает сферу по окружности;
• если $$R

Это следует из уравнения сечения сферы плоскостью:

$$x^2+y^2=R^2-d^2.$$

а) $$R=6\text{ дм},\quad OH=60\text{ см}=6\text{ дм}.$$
Значит, $$R=d$$, поэтому сфера и плоскость $$ABC$$ касаются.

б) $$R=3\text{ м},\quad OH=95\text{ см}=0{,}95\text{ м}.$$
Здесь $$R>d$$, следовательно, плоскость $$ABC$$ пересекает сферу по окружности.

в) $$R=5\text{ дм},\quad OH=45\text{ см}=4{,}5\text{ дм}.$$
Снова $$R>d$$, значит, сфера и плоскость $$ABC$$ пересекаются по окружности.

г) $$R=3{,}5\text{ дм},\quad OH=40\text{ см}=4\text{ дм}.$$
Теперь $$R

Ответ

а) касаются; б) пересекаются по окружности; в) пересекаются по окружности; г) не имеют общих точек.