Упр.381 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Отрезок $$OH$$ — высота тетраэдра $$OABC$$. Выясните взаимное расположение сферы радиуса $$R$$ с центром $$O$$ и плоскости $$ABC$$, если:
а) $$R=6\ \text{дм}$$, $$OH=60\ \text{см}$$;
б) $$R=3\ \text{м}$$, $$OH=95\ \text{см}$$;
в) $$R=5\ \text{дм}$$, $$OH=45\ \text{см}$$;
г) $$R=3{,}5\ \text{дм}$$, $$OH=40\ \text{см}$$.

Пусть $$d=OH$$ — расстояние от центра сферы до плоскости $$ABC$$. Так как $$OH$$ — высота тетраэдра, то $$OH\perp ABC$$, значит именно $$OH$$ и есть расстояние от точки $$O$$ до плоскости $$ABC$$.

Для сферы радиуса $$R$$ и плоскости, находящейся на расстоянии $$d$$ от центра, возможны три случая:

• если $$d>R$$, то сфера и плоскость не имеют общих точек;
• если $$d=R$$, то сфера и плоскость касаются;
• если $$d<R$$, то сфера и плоскость пересекаются по окружности.

Переведём все величины в одни единицы измерения.

1. $$R=6\text{ дм},\quad OH=60\text{ см}=6\text{ дм}.$$

   Значит, $$d=R$$, поэтому сфера и плоскость $$ABC$$ касаются.

2. $$R=3\text{ м}=30\text{ дм},\quad OH=95\text{ см}=9{,}5\text{ дм}.$$

   Здесь $$d<R$$, следовательно, сфера и плоскость $$ABC$$ пересекаются по окружности.

3. $$R=5\text{ дм},\quad OH=45\text{ см}=4{,}5\text{ дм}.$$

   Имеем $$d<R$$, значит, сфера и плоскость $$ABC$$ пересекаются по окружности.

4. $$R=3{,}5\text{ дм},\quad OH=40\text{ см}=4\text{ дм}.$$

   Здесь $$d>R$$, поэтому сфера и плоскость $$ABC$$ не имеют общих точек.

Ответ: а) касаются; б) пересекаются по окружности; в) пересекаются по окружности; г) не имеют общих точек.