Упр.380 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Все стороны ромба, диагонали которого равны $$15\ \text{см}$$ и $$20\ \text{см}$$, касаются сферы радиуса $$10\ \text{см}$$. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости ромба.
Пусть из центра сферы $$O$$ к плоскости ромба опущен перпендикуляр $$OO_1$$. Тогда расстояние от центра сферы до плоскости ромба равно $$OO_1$$.
Так как все стороны ромба касаются сферы, то расстояния от точки $$O_1$$ до всех сторон ромба равны. Значит, окружность с центром в $$O_1$$ и радиусом $$r$$ вписана в ромб.
Найдём радиус вписанной окружности ромба. Диагонали ромба равны $$15$$ см и $$20$$ см, поэтому его площадь
$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot 20=150.$$
Сторона ромба:
$$a=\frac{1}{2}\sqrt{15^2+20^2}=\frac{1}{2}\sqrt{625}=12{,}5.$$
Полупериметр ромба равен
$$p=2a=25.$$
Тогда радиус вписанной окружности
$$r=\frac{S_{ABCD}}{p}=\frac{150}{25}=6.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$OO_1L$$, где $$L$$ — точка касания сферы с плоскостью ромба. Так как радиус сферы равен $$10$$ см, то
$$OO_1=\sqrt{10^2-r^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8.$$
Ответ: $$8$$ см.
