Упр.380 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Bce стороны ромба, диагонали которого равны 15 см и 20 см, касаются сферы радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости ромба.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр сферы, а $$O_1$$ — проекция точки $$O$$ на плоскость ромба. Тогда $$OO_1 \perp (ABCD)$$, а расстояние от центра сферы до плоскости ромба равно $$OO_1$$.

Так как все стороны ромба касаются сферы, то расстояния от точки $$O_1$$ до всех сторон ромба равны. Значит, точка $$O_1$$ — центр вписанной окружности ромба, а её радиус обозначим через $$r$$.

Найдём $$r$$. Площадь ромба через диагонали:

$$ S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot 15 \cdot 20=150 $$

С другой стороны, для ромба

$$ S_{ABCD}=r \cdot p $$

где $$p$$ — полупериметр. Сторона ромба равна

$$ a=\sqrt{\left(\frac{15}{2}\right)^2+\left(\frac{20}{2}\right)^2} =\sqrt{7.5^2+10^2} =\sqrt{156.25}=12.5 $$

Тогда

$$ p=2a=25 $$

Следовательно,

$$ r=\frac{S_{ABCD}}{p}=\frac{150}{25}=6 $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$OO_1L$$, где $$L$$ — точка касания сферы со стороной ромба. Тогда $$OL=R=10$$, а $$O_1L=r=6$$. По теореме Пифагора:

$$ OO_1=\sqrt{OL^2-O_1L^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8 $$

Значит, расстояние от центра сферы до плоскости ромба равно $$8$$ см.