Упр.38 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через вершину $$A$$ ромба $$ABCD$$ проведена прямая $$a$$, параллельная диагонали $$BD$$, а через вершину $$C$$ — прямая $$b$$, не лежащая в плоскости ромба. Докажите, что: а) прямые $$a$$ и $$CD$$ пересекаются; б) $$a$$ и $$b$$ — скрещивающиеся прямые.

Так как $$a \parallel BD$$ и точка $$A \in a,$$ то прямая $$a$$ лежит в плоскости ромба $$ABCD$$.

Рассмотрим прямую $$CD.$$ Она пересекает прямую $$BD$$ в точке $$D$$. Поскольку $$BD \parallel a,$$ то по свойству параллельных прямых прямая $$CD$$ пересекает и прямую $$a$$. Значит,

$$a \cap CD \ne \varnothing.$$

Докажем, что прямые $$a$$ и $$b$$ скрещиваются.

Прямая $$a$$ лежит в плоскости $$ABCD,$$ а прямая $$b$$ не лежит в этой плоскости и проходит через точку $$C,$$ не принадлежащую прямой $$a.$$ Следовательно, прямые $$a$$ и $$b$$ не пересекаются и не лежат в одной плоскости.

По определению, такие прямые являются скрещивающимися.

Ответ: $$a \cap CD \ne \varnothing,$$ прямые $$a$$ и $$b$$ — скрещивающиеся.