Упр.379 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Все стороны треугольника $$ABC$$ касаются сферы радиуса $$5\ \text{см}$$. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если $$AB=13\ \text{см},\ BC=14\ \text{см},\ CA=15\ \text{см}$$.

Пусть $$O_1$$ — центр окружности, вписанной в треугольник $$ABC$$. Тогда расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно расстоянию от центра сферы до точки $$O_1$$ по перпендикуляру к плоскости.

Найдём радиус вписанной окружности треугольника $$ABC$$.

Полупериметр:

$$p=\frac{13+14+15}{2}=21.$$

По формуле Герона площадь треугольника:

$$S=\sqrt{p(p-13)(p-14)(p-15)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84.$$

Тогда радиус вписанной окружности:

$$r=\frac{S}{p}=\frac{84}{21}=4\text{ см}.$$

Пусть $$O$$ — центр сферы, $$H$$ — основание перпендикуляра из $$O$$ на плоскость треугольника. Тогда для любой точки касания сферы со стороной треугольника расстояние от $$O$$ до этой стороны равно радиусу сферы, то есть $$5\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$OO_1$$ и радиусе вписанной окружности имеем:

$$OO_1^2+r^2=5^2.$$

Следовательно,

$$OO_1=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3\text{ см}.$$

Ответ: $$3$$ см.