Упр.378 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Стороны треугольника касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его стороны равны 10 см, 10 см и 12 см.

Подробный ответ

Пусть плоскость треугольника касается сферы в точках $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Опустим из центра сферы $$O$$ перпендикуляр $$OO_1$$ на плоскость треугольника.

Тогда $$O_1A \perp OA$$, $$O_1B \perp OB$$, $$O_1C \perp OC$$, а значит, точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ лежат на окружности с центром $$O_1$$. Следовательно, $$O_1$$ — центр вписанной окружности треугольника $$ABC$$, а $$O_1A = O_1B = O_1C = r$$, где $$r$$ — радиус вписанной окружности.

Найдём $$r$$ для треугольника со сторонами $$10$$ см, $$10$$ см и $$12$$ см.

Полупериметр:

$$p=\frac{10+10+12}{2}=16$$

Площадь по формуле Герона:

$$ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\ S=\sqrt{16\cdot 6\cdot 6\cdot 4}=\sqrt{2304}=48 $$

Тогда

$$r=\frac{S}{p}=\frac{48}{16}=3$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OO_1B$$. В нём

$$OB=R=5,\quad O_1B=r=3$$

По теореме Пифагора:

$$ OO_1=\sqrt{OB^2-O_1B^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4 $$

Значит, расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно $$4$$ см.