Упр.378 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Стороны треугольника касаются сферы радиуса $$5\text{ см}$$. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его стороны равны $$10\text{ см}$$, $$10\text{ см}$$ и $$12\text{ см}$$.

Подробный ответ

Пусть плоскость треугольника касается сферы в точках $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Опустим из центра сферы $$O$$ перпендикуляр $$OO_1$$ на плоскость треугольника $$ABC$$.

Так как радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной плоскости, то

$$OA\perp AB,\quad OB\perp BC,\quad OC\perp CA.$$

Следовательно, точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ лежат на окружности с центром в $$O_1$$, а радиус этой окружности равен радиусу вписанной окружности треугольника $$ABC$$.

Найдём этот радиус. Полупериметр треугольника:

$$p=\frac{10+10+12}{2}=16.$$

По формуле Герона:

$$S=\sqrt{16\cdot(16-10)\cdot(16-10)\cdot(16-12)} =\sqrt{16\cdot 6\cdot 6\cdot 4} =48.$$

Тогда радиус вписанной окружности:

$$r=\frac{S}{p}=\frac{48}{16}=3.$$

В прямоугольном треугольнике $$OO_1A$$ имеем:

$$OO_1=\sqrt{OA^2-O_1A^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4.$$

Значит, расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно $$4$$ см.