Упр.376 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Вершины треугольника $$ABC$$ лежат на сфере радиуса $$13\ \text{см}$$. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если $$AB=6\ \text{см}$$, $$BC=8\ \text{см}$$, $$AC=10\ \text{см}$$.

Плоскость $$ABC$$ пересекает сферу по окружности, описанной около треугольника $$ABC$$. Пусть $$K$$ — центр этой окружности, а $$O$$ — центр сферы. Тогда $$OK \perp (ABC)$$, и $$OK$$ — искомое расстояние от центра сферы до плоскости треугольника.

Найдём радиус описанной окружности треугольника $$ABC$$. Для треугольника со сторонами $$6$$, $$8$$ и $$10$$ имеем:

$$p=\frac{6+8+10}{2}=12$$
$$S=\sqrt{p(p-6)(p-8)(p-10)}=\sqrt{12\cdot 6\cdot 4\cdot 2}=24$$
$$R_{\triangle ABC}=\frac{abc}{4S}=\frac{6\cdot 8\cdot 10}{4\cdot 24}=5$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$OKA$$, где $$OA=13$$ — радиус сферы, а $$KA=5$$ — радиус окружности сечения. Тогда

$$OK=\sqrt{OA^2-KA^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$$

Ответ: $$12\text{ см}$$.