Упр.374 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точки A и B лежат на сфере радиуса R. Найдите расстояние от центра сферы до прямой AB, если AB = т.

Подробный ответ

Через точки $$A$$ и $$B$$ и центр сферы $$O$$ проведём плоскость. Она пересекает сферу по окружности радиуса $$R$$, а прямая $$AB$$ является хордой этой окружности.

Пусть $$M$$ — середина хорды $$AB$$. Тогда в равнобедренном треугольнике $$OAB$$ отрезок $$OM$$, проведённый к основанию $$AB$$, является высотой, значит, $$OM \perp AB$$. Следовательно, $$OM$$ — искомое расстояние от центра сферы до прямой $$AB$$.

Так как $$M$$ — середина хорды, то

$$ AM=MB=\frac{AB}{2}=\frac{m}{2}. $$

В прямоугольном треугольнике $$OAM$$ по теореме Пифагора:

$$ OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{R^2-\left(\frac{m}{2}\right)^2} =\sqrt{R^2-\frac{m^2}{4}} =\frac{\sqrt{4R^2-m^2}}{2}. $$