Упр.373 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Точка $$M$$ — середина отрезка $$AB$$, концы которого лежат на сфере радиуса $$R$$ с центром $$O$$. Найдите:
а) $$OM$$, если $$R=50\ \text{см}$$, $$AB=40\ \text{см}$$;
б) $$OM$$, если $$R=15\ \text{мм}$$, $$AB=18\ \text{мм}$$;
в) $$AB$$, если $$R=10\ \text{дм}$$, $$OM=60\ \text{см}$$;
г) $$AM$$, если $$R=a$$, $$OM=b$$.

Проведём секущую плоскость через точки $$A$$, $$B$$ и центр сферы $$O$$. Тогда сечение сферы этой плоскостью — окружность радиуса $$R$$ с центром в точке $$O$$, а отрезок $$AB$$ — хорда этой окружности.

Так как $$M$$ — середина хорды $$AB$$, то прямая $$OM$$ перпендикулярна хорде $$AB$$. Следовательно, в прямоугольном треугольнике $$OAM$$

$$OM^2+AM^2=OA^2=R^2.$$

Кроме того, $$AM=\dfrac{AB}{2}$$.

1. $$R=50\text{ см},\quad AB=40\text{ см}.$$

   $$AM=\frac{40}{2}=20\text{ см}.$$

   $$OM=\sqrt{R^2-AM^2}=\sqrt{50^2-20^2}=\sqrt{2500-400}=\sqrt{2100}=10\sqrt{21}\text{ см}.$$

2. $$R=15\text{ мм},\quad AB=18\text{ мм}.$$

   $$AM=\frac{18}{2}=9\text{ мм}.$$

   $$OM=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12\text{ мм}.$$

3. $$R=10\text{ дм}=100\text{ см},\quad OM=60\text{ см}.$$

   $$AM=\sqrt{R^2-OM^2}=\sqrt{100^2-60^2}=\sqrt{10000-3600}=\sqrt{6400}=80\text{ см}.$$

   $$AB=2AM=160\text{ см}=16\text{ дм}.$$

4. $$R=a,\quad OM=b.$$

   $$AM=\sqrt{a^2-b^2}.$$

   Тогда
   $$AB=2AM=2\sqrt{a^2-b^2}.$$

Ответ: а) $$10\sqrt{21}\text{ см}$$; б) $$12\text{ мм}$$; в) $$16\text{ дм}$$; г) $$2\sqrt{a^2-b^2}$$.