Упр.372 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точки $$A$$ и $$B$$ лежат на сфере с центром $$O$$, а точка $$M$$ лежит на отрезке $$AB$$. Докажите, что:

а) если $$M$$ — середина отрезка $$AB$$, то $$OM \perp AB$$;

б) если $$OM \perp AB$$, то $$M$$ — середина отрезка $$AB$$.

Подробный ответ

Проведём радиусы $$OA$$ и $$OB$$. Тогда $$OA=OB$$ как радиусы одной и той же сферы, значит, $$\triangle AOB$$ — равнобедренный.

а)

Если $$M$$ — середина отрезка $$AB$$, то $$OM$$ — медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника $$AOB$$. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой, следовательно,

$$OM\perp AB.$$

б)

Пусть теперь $$OM\perp AB$$. Рассмотрим треугольники $$\triangle OMA$$ и $$\triangle OMB$$.

У них:

$$OA=OB$$, так как это радиусы сферы;
$$OM$$ — общая сторона;
$$\angle OMA=\angle OMB=90^\circ$$, поскольку $$OM\perp AB$$ и точки $$A,\,M,\,B$$ лежат на одной прямой.

Следовательно, $$\triangle OMA \cong \triangle OMB$$ по двум катетам. Отсюда

$$MA=MB.$$

Значит, $$M$$ — середина отрезка $$AB$$.