Упр.370 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Дана трапеция $$ABCD$$, в которой $$\angle A=90^\circ$$, $$\angle D=45^\circ$$, $$BC=4\text{ см}$$, $$CD=3\sqrt{2}\text{ см}$$. Вычислите площади боковой и полной поверхностей усечённого конуса, образованного вращением данной трапеции вокруг стороны $$AB$$.

При вращении трапеции вокруг стороны $$AB$$ получается усечённый конус. Его высота равна $$AB$$, а радиусы оснований равны расстояниям от точек $$C$$ и $$D$$ до оси вращения.

Опустим из точки $$C$$ перпендикуляр $$CM$$ на $$AD$$. Тогда $$CM$$ — радиус меньшего основания, а $$DM$$ — проекция боковой стороны $$CD$$ на основание.

Так как $$\angle D=45^\circ$$ и $$CD=3\sqrt{2}\text{ см}$$, то

$$DM=CD\cos 45^\circ=3\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3\text{ см}.$$

Из рисунка и условия трапеции получаем, что $$AD=7\text{ см}$$, значит

$$CM=AD-DM=7-3=4\text{ см}.$$

Следовательно, радиусы оснований усечённого конуса равны $$r=4\text{ см}$$ и $$R=7\text{ см}$$, а образующая

$$l=CD=3\sqrt{2}\text{ см}.$$

Площадь боковой поверхности усечённого конуса:

$$S_{\text{бок}}=\pi(R+r)l=\pi(7+4)\cdot 3\sqrt{2}=33\sqrt{2}\pi\ \text{см}^2.$$

Площадь полной поверхности:

$$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+\pi R^2+\pi r^2 =33\sqrt{2}\pi+\pi\cdot 7^2+\pi\cdot 4^2 =33\sqrt{2}\pi+65\pi\ \text{см}^2.$$

Ответ: $$S_{\text{бок}}=33\sqrt{2}\pi\ \text{см}^2,\quad S_{\text{полн}}=33\sqrt{2}\pi+65\pi\ \text{см}^2.$$