Упр.370 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Дана трапеция ABCD, в которой ZA = 90°, ZD = 45°, BC = 4 см, CD = 3j2 см. Вычислите площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса, образованного вращением данной трапеции вокруг стороны AB.

Подробный ответ

При вращении трапеции вокруг стороны $$AB$$ получается усечённый конус. Его образующая равна боковой стороне трапеции:

$$l=CD=3\sqrt{2}\text{ см}.$$

Радиусы оснований усечённого конуса равны отрезкам $$AB$$ и $$CD$$, то есть нужно найти $$AB$$.

Опустим из точки $$C$$ перпендикуляр $$CM$$ на основание $$AD$$. Тогда $$CM \perp AD$$, а в прямоугольном треугольнике $$CMD$$ угол $$\angle D=45^\circ$$, значит треугольник $$CMD$$ равнобедренный прямоугольный.

Следовательно,

$$DM=CM=CD\cos 45^\circ=3\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3\text{ см}.$$

Тогда

$$AD=BC+DM=4+3=7\text{ см}.$$

Так как $$ABCD$$ — трапеция и $$AB \parallel CD$$, то высота трапеции равна $$AB$$. Из рисунка и условия $$\angle A=90^\circ$$, значит $$AB$$ — расстояние между основаниями, а в прямоугольном треугольнике $$ADM$$:

$$AB=CM=3\text{ см}.$$

Теперь найдём площади поверхностей усечённого конуса.

Боковая поверхность:

$$S_{\text{бок}}=\pi (R+r)l,$$

где $$R=7\text{ см},\ r=3\text{ см},\ l=3\sqrt{2}\text{ см}.$$ Тогда

$$S_{\text{бок}}=\pi(7+3)\cdot 3\sqrt{2}=30\sqrt{2}\pi\text{ см}^2.$$

Полная поверхность:

$$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+\pi R^2+\pi r^2.$$

Подставим значения:

$$S_{\text{полн}}=30\sqrt{2}\pi+\pi\cdot 7^2+\pi\cdot 3^2=30\sqrt{2}\pi+49\pi+9\pi=30\sqrt{2}\pi+58\pi\text{ см}^2.$$