Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.37 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Отрезки, соединяющие середины сторон выпуклого четырёхугольника, равны. Найдите площадь четырёхугольника, если его диагонали равны $$8$$ и $$12$$.
Обозначим середины сторон четырёхугольника $$ABCD$$ через $$E, F, G, H$$.
Тогда в четырёхугольнике $$EFGH$$ отрезки $$EH$$ и $$FG$$ соединяют середины сторон треугольников $$ABD$$ и $$CBD$$, поэтому
$$EH=FG=\frac{1}{2}BD,\qquad EH\parallel FG\parallel BD.$$
Аналогично, $$EG$$ и $$FH$$ соединяют середины сторон треугольников $$ACD$$ и $$ABC$$, значит
$$EG=FH=\frac{1}{2}AC,\qquad EG\parallel FH\parallel AC.$$
Так как в четырёхугольнике $$EFGH$$ противоположные стороны попарно равны и параллельны, то $$EFGH$$ — прямоугольник. Следовательно, его стороны равны половинам диагоналей четырёхугольника $$ABCD$$, а диагонали $$AC$$ и $$BD$$ перпендикулярны.
Тогда площадь четырёхугольника $$ABCD$$ равна половине произведения его диагоналей:
$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD.$$
Подставим данные:
$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 12=48.$$
Ответ: $$48$$.
