Подготовка к ЕГЭ Задание 3 Упр.37 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Сторона равностороннего треугольника ABC равна $$\sqrt{3}$$. Найдите $$|AB+AC|$$.

В равностороннем треугольнике $$ABC$$ высота $$AD$$ является также медианой, поэтому $$BD=DC=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ и $$AD\perp BC$$.

Так как векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$ симметричны относительно высоты $$AD$$, то

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD},$$

следовательно,

$$\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2|AD|.$$

Найдём $$AD$$ из прямоугольного треугольника $$ABD$$:

$$AD=\sqrt{AB^2-BD^2} =\sqrt{3-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} =\sqrt{3-\frac{3}{4}} =\sqrt{\frac{9}{4}} =\frac{3}{2}.$$

Тогда

$$\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2\cdot \frac{3}{2}=3.$$

Ответ: $$3$$.