Упр.369 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Площадь боковой поверхности конуса равна $$80\ \text{см}^2$$. Через середину высоты конуса проведена плоскость, перпендикулярная к высоте. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося при этом усечённого конуса.

Пусть у исходного конуса радиус основания равен $$R$$, образующая — $$l$$. Тогда площадь его боковой поверхности

$$S_{\text{бок}}=\pi Rl=80.$$

Плоскость проходит через середину высоты и параллельна основанию, значит, отсечённый сверху конус подобен исходному с коэффициентом подобия $$\frac{1}{2}$$. Поэтому его радиус и образующая равны

$$r=\frac{R}{2}, \qquad l_1=\frac{l}{2}.$$

Площадь боковой поверхности малого конуса:

$$S_1=\pi r l_1=\pi \cdot \frac{R}{2}\cdot \frac{l}{2}=\frac{1}{4}\pi Rl=\frac{80}{4}=20.$$

Тогда площадь боковой поверхности усечённого конуса равна разности:

$$S_{\text{усеч}}=S_{\text{бок}}-S_1=80-20=60.$$

Ответ: $$60\ \text{см}^2$$.