Упр.365 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна $$m$$, а угол при основании равен $$\varphi$$, вращается вокруг основания. Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника.

При вращении равнобедренного треугольника вокруг основания получается два равных круговых конуса с общим основанием. Поэтому площадь поверхности тела равна сумме боковых поверхностей этих конусов:

$$S_{\text{пов}}=2S_{\text{бок}}.$$

Найдём радиус основания конуса. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна $$m$$, а угол при основании равен $$\varphi$$, значит высота, опущенная на основание, равна

$$r=m\sin\varphi.$$

Образующая каждого конуса равна боковой стороне треугольника:

$$l=m.$$

Тогда боковая поверхность одного конуса:

$$S_{\text{бок}}=\pi rl=\pi\cdot m\sin\varphi\cdot m=\pi m^2\sin\varphi.$$

Следовательно, площадь поверхности всего тела:

$$S_{\text{пов}}=2\pi m^2\sin\varphi.$$

Ответ: $$2\pi m^2\sin\varphi$$.