Упр.363 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом $$\varphi$$. В основание конуса вписан треугольник, у которого одна сторона равна $$a$$, а противолежащий угол равен $$\alpha$$. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса. В нём образующая $$l$$, радиус основания $$r$$ и высота $$h$$ образуют прямоугольный треугольник, а угол между образующей и плоскостью основания равен $$\varphi$$. Тогда

$$\cos\varphi=\frac{h}{l}, \qquad \sin\varphi=\frac{r}{l}.$$

В основании конуса вписан треугольник, у которого сторона $$a$$ лежит против угла $$\alpha$$. Так как окружность основания является описанной окружностью этого треугольника, по теореме синусов

$$\frac{a}{\sin\alpha}=2r,$$

откуда

$$r=\frac{a}{2\sin\alpha}.$$

Из формулы $$\sin\varphi=\frac{r}{l}$$ получаем

$$l=\frac{r}{\sin\varphi}=\frac{a}{2\sin\alpha\sin\varphi}.$$

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади основания и боковой поверхности:

$$S_{\text{полн}}=\pi r^2+\pi rl=\pi r(r+l).$$

Подставим найденные значения:

$$S_{\text{полн}} =\pi\cdot \frac{a}{2\sin\alpha}\left(\frac{a}{2\sin\alpha}+\frac{a}{2\sin\alpha\sin\varphi}\right) =\frac{\pi a^2(1+\sin\varphi)}{4\sin^2\alpha\,\sin\varphi}.$$

Ответ: $$\frac{\pi a^2(1+\sin\varphi)}{4\sin^2\alpha\,\sin\varphi}$$.