Упр.360 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Вычислите площадь основания и высоту конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор, радиус которого равен 9 см, а дуга равна 120°.

Подробный ответ

Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор круга, радиус которого равен образующей конуса, то есть $$l=9\text{ см}.$$

Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса:

$$\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 9=2\pi R.$$

Отсюда

$$\frac{1}{3}\cdot 18\pi=2\pi R,$$

$$6\pi=2\pi R,$$

$$R=3\text{ см}.$$

Тогда площадь основания конуса:

$$S_{\text{осн}}=\pi R^2=\pi\cdot 3^2=9\pi\text{ см}^2.$$

Высоту найдём по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного радиусом основания, высотой и образующей:

$$l^2=R^2+h^2,$$