Упр.360 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Вычислите площадь основания и высоту конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор, радиус которого равен $$9\ \text{см}$$, а дуга равна $$120^\circ$$.

Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор радиуса $$l=9$$ см, где $$l$$ — образующая конуса. Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса:

$$\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 9=2\pi R.$$

Отсюда

$$\frac{1}{3}\cdot 18\pi=2\pi R,$$

$$6\pi=2\pi R,$$

$$R=3\text{ см}.$$

Тогда площадь основания конуса:

$$S_{\text{осн}}=\pi R^2=\pi\cdot 3^2=9\pi\text{ см}^2.$$

Высоту найдём по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного радиусом основания, высотой и образующей:

$$l^2=R^2+h^2,$$

$$h^2=l^2-R^2=9^2-3^2=81-9=72,$$

$$h=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\text{ см}.$$

Ответ: $$S_{\text{осн}}=9\pi\text{ см}^2,\quad h=6\sqrt{2}\text{ см}.$$