Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.36 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Сторона треугольника равна $$36$$. Прямая, параллельная этой стороне, разделяет треугольник на две равновеликие части. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого между сторонами треугольника.

Так как $$EF \parallel AB,$$ то треугольники $$CEF$$ и $$CAB$$ подобны.

Пусть коэффициент подобия равен $$k$$. Тогда отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{CEF}}{S_{ABC}}=k^2.$$

По условию $$S_{CEF}=\frac{1}{2}S_{ABC},$$ значит

$$k^2=\frac{1}{2}, \qquad k=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Из подобия следует:

$$\frac{EF}{AB}=k,$$

откуда

$$EF=AB\cdot k=36\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=18\sqrt{2}.$$

Ответ: $$18\sqrt{2}$$.