Подготовка к ЕГЭ Задание 3 Упр.36 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Диагонали ромба $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$ и равны $$12$$ и $$16$$. Найдите скалярное произведение векторов $$\overrightarrow{AO}$$ и $$\overrightarrow{BO}$$.

Для ромба диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, а также перпендикулярны друг другу.

Тогда

$$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{16}{2}=8,$$

$$BO=\frac{1}{2}BD=\frac{12}{2}=6.$$

Так как диагонали ромба перпендикулярны, то $$\angle AOB=90^\circ.$$

Найдём скалярное произведение:

$$\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{BO}=AO\cdot BO\cdot \cos \angle AOB.$$

Подставим значения:

$$\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{BO}=8\cdot 6\cdot \cos 90^\circ=0.$$

Ответ: $$0$$.