Упр.359 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой, равной: а) 180°; б) 90°; в) 60°.

Пусть $$\angle APO=x$$ — половина угла при вершине осевого сечения конуса. Тогда в осевом сечении получаем равнобедренный треугольник $$PAB$$, где $$PA=PB=l$$, а $$O$$ — середина основания.

Развёртка боковой поверхности конуса — сектор радиуса $$l$$. Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса:

$$\frac{2\pi l\cdot \alpha}{360^\circ}=2\pi r,$$

где $$\alpha$$ — градусная мера дуги сектора. Отсюда

$$r=\frac{\alpha l}{360^\circ}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOP$$ имеем

$$\sin x=\frac{AO}{AP}=\frac{r}{l}=\frac{\alpha}{360^\circ}.$$

Следовательно, угол при вершине осевого сечения равен $$2x$$.

1. Если $$\alpha=180^\circ$$, то

   $$\sin x=\frac{180^\circ}{360^\circ}=\frac12,$$

   значит, $$x=30^\circ$$, а потому

   $$\angle APB=2x=60^\circ.$$

2. Если $$\alpha=90^\circ$$, то

   $$\sin x=\frac{90^\circ}{360^\circ}=\frac14,$$

   значит,

   $$\angle APB=2\arcsin\frac14.$$

3. Если $$\alpha=60^\circ$$, то

   $$\sin x=\frac{60^\circ}{360^\circ}=\frac16,$$

   значит,

   $$\angle APB=2\arcsin\frac16.$$

Ответ: а) $$60^\circ$$; б) $$2\arcsin\frac14$$; в) $$2\arcsin\frac16$$.