Упр.359 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой, равной: а) 180°; б) 90°; в) 60°.

Подробный ответ

Обозначим через $$x$$ угол при вершине осевого сечения конуса. Пусть $$l$$ — образующая конуса, $$r$$ — радиус основания.

При развертке боковой поверхности конуса получается сектор радиуса $$l$$, а длина его дуги равна длине окружности основания конуса:

$$\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi l=2\pi r,$$

где $$\alpha$$ — градусная мера дуги сектора. Отсюда

$$r=\frac{\alpha}{360^\circ}\,l.$$

В осевом сечении конуса получаем равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $$l$$ и основанием $$2r$$. Если провести высоту из вершины, то она делит угол $$x$$ пополам, и в прямоугольном треугольнике

$$\sin\frac{x}{2}=\frac{r}{l}.$$

Подставим найденное отношение $$\frac{r}{l}=\frac{\alpha}{360^\circ}$$:

$$\sin\frac{x}{2}=\frac{\alpha}{360^\circ}.$$

а) При $$\alpha=180^\circ$$:

$$\sin\frac{x}{2}=\frac{180^\circ}{360^\circ}=\frac12,$$

значит,

$$\frac{x}{2}=30^\circ,\qquad x=60^\circ.$$

б) При $$\alpha=90^\circ$$:

$$\sin\frac{x}{2}=\frac{90^\circ}{360^\circ}=\frac14,$$

следовательно,

$$x=2\arcsin\frac14.$$

в) При $$\alpha=60^\circ$$: