Упр.358 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите дугу сектора, представляющего собой развёртку боковой поверхности конуса, если образующая конуса составляет с плоскостью основания угол в $$60^\circ$$.

Пусть $$l$$ — образующая конуса, $$r$$ — радиус основания. Рассмотрим осевое сечение конуса. В этом сечении образующая $$l$$ образует с плоскостью основания угол $$60^\circ$$, значит с радиусом основания она образует тот же угол.

Тогда в прямоугольном треугольнике

$$r=l\cos 60^\circ=\frac{l}{2}.$$

Развёртка боковой поверхности конуса — это сектор радиуса $$l$$, длина дуги которого равна длине окружности основания конуса:

$$\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi l=2\pi r.$$

Подставим $$r=\frac{l}{2}$$:

$$\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi l=2\pi\cdot \frac{l}{2}=\pi l.$$

Отсюда

$$\frac{\alpha}{360^\circ}=\frac{1}{2}, \qquad \alpha=180^\circ.$$

Ответ: $$180^\circ$$.