Упр.356 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Две секущие плоскости перпендикулярны к оси конуса. Докажите, что площади сечений конуса этими плоскостями относятся как квадраты расстояний от вершины конуса до этих плоскостей.

Подробный ответ

Пусть секущие плоскости пересекают конус по окружностям радиусов $$r_1$$ и $$r_2$$, а расстояния от вершины конуса до этих плоскостей равны соответственно $$d_1$$ и $$d_2$$.

Так как обе плоскости перпендикулярны оси конуса, то сечения конуса этими плоскостями подобны основанию конуса. Следовательно, радиусы соответствующих сечений пропорциональны расстояниям от вершины конуса до плоскостей:

$$\frac{r_1}{r_2}=\frac{d_1}{d_2}.$$

Площади кругов равны:

$$S_1=\pi r_1^2,\qquad S_2=\pi r_2^2.$$

Тогда

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2}=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2.$$

Подставляя найденное отношение радиусов, получаем:

$$\frac{S_1}{S_2}=\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2.$$

Значит, площади сечений относятся как квадраты расстояний от вершины конуса до этих плоскостей.