Упр.356 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Две секущие плоскости перпендикулярны к оси конуса. Докажите, что площади сечений конуса этими плоскостями относятся как квадраты расстояний от вершины конуса до этих плоскостей.

Пусть секущие плоскости пересекают ось конуса в точках $$O_1$$ и $$O_2$$, а радиусы полученных круговых сечений равны соответственно $$r_1$$ и $$r_2$$. Тогда площади сечений:

$$S_1=\pi r_1^2,\qquad S_2=\pi r_2^2.$$

Рассмотрим осевое сечение конуса. Треугольники, образованные вершиной конуса, осью и радиусами сечений, подобны, так как секущие плоскости перпендикулярны оси конуса, а значит, сечения параллельны основанию. Поэтому

$$\frac{r_1}{r_2}=\frac{PO_1}{PO_2},$$

где $$P$$ — вершина конуса.

Возведём равенство в квадрат:

$$\frac{r_1^2}{r_2^2}=\frac{PO_1^2}{PO_2^2}.$$

Умножая обе части на $$\pi$$, получаем

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2}=\frac{r_1^2}{r_2^2}=\frac{PO_1^2}{PO_2^2}.$$

Следовательно, площади сечений относятся как квадраты расстояний от вершины конуса до этих плоскостей:

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{PO_1^2}{PO_2^2}.$$