Упр.355 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основанием конуса с вершиной $$P$$ является круг радиуса $$r$$ с центром $$O$$. Докажите, что если секущая плоскость $$\alpha$$ перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром $$O_1$$ радиуса $$r_1$$, где $$O_1$$ — точка пересечения плоскости $$\alpha$$ с осью $$PO$$, $$r_1=\frac{PO_1}{PO}r$$ (см. рис. 152).
Рассмотрим плоскость $$\alpha$$, перпендикулярную оси конуса $$PO$$, и точку $$O_1 = \alpha \cap PO$$.
Докажем сначала, что любая точка $$M_1$$ плоскости $$\alpha$$, лежащая на окружности с центром $$O_1$$ и радиусом $$r_1$$, принадлежит боковой поверхности конуса.
Пусть луч $$PM_1$$ пересекает плоскость основания конуса в точке $$M$$. Тогда треугольники $$PO_1M_1$$ и $$POM$$ подобны: они прямоугольные и имеют общий острый угол при вершине $$P$$.
Из подобия получаем
$$\frac{O_1M_1}{OM}=\frac{PO_1}{PO}.$$
Так как $$OM=r$$, то
$$O_1M_1=\frac{PO_1}{PO}\cdot r=r_1.$$
Значит, точка $$M_1$$ лежит на образующей $$PM$$ конуса, то есть принадлежит его боковой поверхности.
Докажем теперь обратное: любая точка $$M_1$$, лежащая одновременно в плоскости $$\alpha$$ и на боковой поверхности конуса, находится на окружности радиуса $$r_1$$ с центром $$O_1$$.
Пусть $$PM$$ — образующая конуса, проходящая через точку $$M_1$$, а $$M$$ — точка её пересечения с плоскостью основания. Тогда треугольники $$PO_1M_1$$ и $$POM$$ снова подобны, поэтому
$$\frac{O_1M_1}{OM}=\frac{PO_1}{PO}.$$
С учётом $$OM=r$$ получаем
$$O_1M_1=\frac{PO_1}{PO}\cdot r=r_1.$$
Следовательно, все точки сечения боковой поверхности конуса плоскостью $$\alpha$$ лежат на окружности с центром $$O_1$$ и радиусом $$r_1$$. Значит, сечение всего конуса этой плоскостью представляет собой круг с центром $$O_1$$ и радиусом
$$r_1=\frac{PO_1}{PO}\,r.$$
