Упр.355 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием конуса с вершиной P является круг радиуса r с центром О. Докажите, что если секущая плоскость а перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром O1 радиуса гг, где O1 — точка пересечения плоскости а с осью PO, PO a T1 =^^-г (см- Рис- 152). Решение Докажем сначала, что любая точка M1, лежащая в плоскости а на окружности радиуса T1 с центром O1, лежит на некоторой образующей конуса, т. e. является точкой рассматриваемого сечения. Обозначим буквой M точку пересечения луча PM1 с плоскостью основания конуса. Из подобия прямоугольных треугольников PO1M1 и POM (они подобны, так как имеют общий острый угол P) находим: OM = ^- • О, M1 = —~ r, — r, т.е. точка M лежит на PO1 1 1 PO1 1 окружности основания конуса. Следовательно, отрезок PM, на котором лежит точка M1, является образующей конуса. Докажем теперь, что любая точка M1, лежащая как в плоскости а, так и на боковой поверхности конуса, лежит на окружности радиуса T1 с центром O1. Действительно, из подобия треугольников PO1M1 и POM (PM — образующая, проходящая через точку M1) PO PO имеем O1M1 = ^^-‘ОМ-^^-г = г1. Таким образом, окружность радиуса T1 с центром O1 является сечением боковой поверхности конуса плоскостью а, поэтому круг, границей которого является эта окружность, представляет собой сечение конуса плоскостью а.

Подробный ответ

Пусть $$O_1$$ — точка пересечения плоскости $$\alpha$$ с осью конуса $$PO$$. Обозначим через $$r_1$$ радиус искомого сечения.

Докажем сначала, что любая точка $$M_1$$ плоскости $$\alpha$$, лежащая на окружности радиуса $$r_1$$ с центром $$O_1$$, принадлежит боковой поверхности конуса.

Проведём луч $$PM_1$$ и обозначим через $$M$$ точку его пересечения с плоскостью основания конуса. Тогда треугольники $$PO_1M_1$$ и $$POM$$ прямоугольные и имеют общий острый угол при вершине $$P$$, значит, они подобны.

Из подобия получаем:

$$ \frac{O_1M_1}{OM}=\frac{PO_1}{PO} $$

Так как $$OM=r$$, то

$$ O_1M_1=\frac{PO_1}{PO}\cdot r. $$

Следовательно, если положить

$$ r_1=\frac{PO_1}{PO}\cdot r, $$

то каждая точка окружности радиуса $$r_1$$ с центром $$O_1$$ лежит на некоторой образующей конуса.

Докажем обратное: любая точка $$M_1$$, лежащая одновременно в плоскости $$\alpha$$ и на боковой поверхности конуса, находится на этой окружности. Действительно, пусть $$PM$$ — образующая конуса, проходящая через $$M_1$$. Тогда треугольники $$PO_1M_1$$ и $$POM$$ снова подобны, поэтому

$$ \frac{O_1M_1}{OM}=\frac{PO_1}{PO}. $$

Так как $$OM=r$$, получаем

$$ O_1M_1=\frac{PO_1}{PO}\cdot r=r_1. $$

Значит, все точки сечения лежат на окружности радиуса $$r_1$$ с центром $$O_1$$, а вместе с внутренней областью эта окружность задаёт круг.