Упр.354 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 60°, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол: а) 30°; б) 45°; в) 60°.

Пусть $$h=10$$ см — высота конуса, $$O$$ — центр основания, $$P$$ — вершина конуса, $$BC$$ — хорда основания, стягивающая дугу $$60^\circ$$. Проведём $$OA\perp BC$$, тогда $$A$$ — середина хорды $$BC$$, а прямая $$PA$$ лежит в плоскости сечения.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$POA$$. Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен углу $$\angle PAO$$, поэтому

$$\tan \angle PAO=\frac{PO}{OA}=\frac{h}{OA}.$$

С другой стороны, в окружности основания хорда $$BC$$, стягивающая дугу $$60^\circ$$, имеет длину

$$BC=2R\sin 30^\circ=R,$$

а расстояние от центра до хорды равно

$$OA=R\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}R.$$

Так как $$BC=R$$, то

$$OA=\frac{\sqrt3}{2}BC.$$

Из треугольника $$POA$$ получаем:

$$\tan \angle PAO=\frac{h}{OA}.$$

Далее рассмотрим три случая.

а) $$\angle PAO=30^\circ$$

$$\tan 30^\circ=\frac{h}{OA}=\frac{1}{\sqrt3}, \qquad OA=h\sqrt3.$$

Тогда

$$BC=\frac{2}{\sqrt3}OA=2h.$$

Высота треугольника сечения, опущенная из $$P$$ на $$BC$$, равна $$PA$$. Из треугольника $$POA$$:

$$\sin 30^\circ=\frac{h}{PA}, \qquad PA=2h.$$

Площадь сечения:

$$S=\frac12\cdot BC\cdot PA=\frac12\cdot 2h\cdot 2h=2h^2=200\ \text{см}^2.$$

б) $$\angle PAO=45^\circ$$

$$\tan 45^\circ=\frac{h}{OA}=1, \qquad OA=h.$$

Тогда

$$BC=\frac{2}{\sqrt3}h.$$

Из треугольника $$POA$$:

$$\sin 45^\circ=\frac{h}{PA}, \qquad PA=h\sqrt2.$$

Следовательно,

$$S=\frac12\cdot BC\cdot PA=\frac12\cdot \frac{2h}{\sqrt3}\cdot h\sqrt2=\frac{h^2\sqrt6}{3}.$$

При $$h=10$$:

$$S=\frac{100\sqrt6}{3}\ \text{см}^2.$$

в) $$\angle PAO=60^\circ$$

$$\tan 60^\circ=\frac{h}{OA}=\sqrt3, \qquad OA=\frac{h}{\sqrt3}.$$

Тогда

$$BC=\frac{2}{\sqrt3}OA=\frac{2h}{3}.$$

Из треугольника $$POA$$:

$$\sin 60^\circ=\frac{h}{PA}, \qquad PA=\frac{2h}{\sqrt3}.$$

Площадь сечения:

$$S=\frac12\cdot BC\cdot PA=\frac12\cdot \frac{2h}{3}\cdot \frac{2h}{\sqrt3}=\frac{2h^2}{3\sqrt3}.$$

При $$h=10$$:

$$S=\frac{200\sqrt3}{9}\ \text{см}^2.$$

Ответ: а) $$200\ \text{см}^2$$; б) $$\frac{100\sqrt6}{3}\ \text{см}^2$$; в) $$\frac{200\sqrt3}{9}\ \text{см}^2$$.