Упр.353 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Образующая конуса равна $$l$$, а радиус основания равен $$r$$. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу: а) в $$60^\circ$$; б) в $$90^\circ$$.

Обозначим вершину конуса через $$P$$, центр основания — через $$O$$, а хорду основания — через $$CB$$. Сечение проходит через вершину $$P$$ и хорду $$CB$$, значит его площадь равна площади треугольника $$PCB$$:

$$S_{сеч}=\frac12\cdot CB\cdot PK,$$

где $$PK$$ — высота треугольника $$PCB$$, опущенная на хорду $$CB$$. Так как $$PO\perp$ основанию, то$$PO\perp CB$$, а значит, в плоскости сечения прямая$$OK$$перпендикулярна$$CB$$. Следовательно,$$PK$$можно найти из прямоугольного треугольника$$POK$$:

$$PK=\sqrt{PO^2+OK^2}.$$

Пусть образующая конуса равна$$l$$, а радиус основания равен$$r$$.

а) Хорда стягивает дугу$$60^\circ$$

Тогда длина хорды

$$CB=2r\sin 30^\circ=r.$$

Так как$$OK$$— расстояние от центра окружности до хорды, то

$$OK=r\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}r.$$

В прямоугольном треугольнике$$POK$$имеем$$PO=\sqrt{l^2-r^2}$$, поэтому

$$PK=\sqrt{PO^2+OK^2}=\sqrt{l^2-r^2+\frac34r^2}=\frac12\sqrt{4l^2-r^2}.$$

Тогда

$$S_{сеч}=\frac12\cdot r\cdot \frac12\sqrt{4l^2-r^2}=\frac{r}{4}\sqrt{4l^2-r^2}.$$

б) Хорда стягивает дугу$$90^\circ$$

В этом случае

$$CB=2r\sin 45^\circ=r\sqrt2,$$

а расстояние от центра до хорды равно

$$OK=r\cos 45^\circ=\frac{r}{\sqrt2}.$$

Тогда

$$PK=\sqrt{PO^2+OK^2}=\sqrt{l^2-r^2+\frac{r^2}{2}}=\frac{1}{\sqrt2}\sqrt{2l^2-r^2}.$$

Следовательно,

$$S_{сеч}=\frac12\cdot r\sqrt2\cdot \frac{1}{\sqrt2}\sqrt{2l^2-r^2}=\frac{r}{2}\sqrt{2l^2-r^2}.$$

Ответ: а)$$\frac{r}{4}\sqrt{4l^2-r^2}$$; б)$$\frac{r}{2}\sqrt{2l^2-r^2}$$.