Упр.351 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Высота конуса равна $$h$$, а угол между высотой и образующей конуса равен $$60^\circ$$. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две взаимно перпендикулярные образующие.
Рассмотрим треугольник $$AOB$$, где $$A$$ — вершина конуса, $$O$$ — центр основания, $$B$$ — точка на окружности основания. Тогда $$AO=h$$, а $$\angle BAO=60^\circ$$.
Так как $$AO\perp OB$$, треугольник $$AOB$$ прямоугольный. Следовательно, $$\angle ABO=30^\circ$$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы, значит
$$AB=2AO=2h.$$
Плоскость сечения проходит через две взаимно перпендикулярные образующие конуса, поэтому сечение — треугольник с двумя сторонами, равными образующим. Обозначим эти образующие через $$AB$$ и $$AC$$. Тогда
$$AB=AC=2h,$$
а угол между ними равен $$90^\circ$$. Следовательно, площадь сечения равна
$$S=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot \sin 90^\circ =\frac12\cdot 2h\cdot 2h =2h^2.$$
Ответ: $$2h^2$$.
