Упр.350 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Осевое сечение конуса — правильный треугольник со стороной $$2r$$. Найдите площадь сечения, проведённого через две образующие конуса, угол между которыми равен: а) $$30^\circ$$; б) $$45^\circ$$; в) $$60^\circ$$.

Подробный ответ

Образующие конуса равны $$2r$$. Сечение, проведённое через две образующие, представляет собой треугольник со сторонами $$2r$$ и $$2r$$, а угол между ними равен заданному углу.

Площадь такого треугольника найдём по формуле

$$S=\frac12 ab\sin\gamma,$$

где $$a=2r,$$ $$b=2r,$$ $$\gamma$$ — угол между образующими.

Тогда

$$S=\frac12\cdot 2r\cdot 2r\cdot \sin\gamma=2r^2\sin\gamma.$$

а) При $$\gamma=30^\circ$$:

$$S=2r^2\sin 30^\circ=2r^2\cdot \frac12=r^2.$$

б) При $$\gamma=45^\circ$$:

$$S=2r^2\sin 45^\circ=2r^2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=r^2\sqrt2.$$

в) При $$\gamma=60^\circ$$:

$$S=2r^2\sin 60^\circ=2r^2\cdot \frac{\sqrt3}{2}=r^2\sqrt3.$$

Ответ: а) $$r^2$$; б) $$r^2\sqrt2$$; в) $$r^2\sqrt3$$.