Упр.35 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. точек с прямой $$a$$. Докажите, что по крайней мере одна из этих прямых и прямая $$a$$ являются скрещивающимися прямыми.

Докажем утверждение от противного.

Пусть обе прямые $$b$$ и $$c$$ не скрещиваются с прямой $$a$$. Тогда каждая из них либо пересекает $$a$$, либо параллельна ей.

Но по условию $$b \cap a=\varnothing$$ и $$c \cap a=\varnothing$$, значит, прямые $$b$$ и $$c$$ не могут пересекать $$a$$. Следовательно,

$$b \parallel a \quad \text{и} \quad c \parallel a.$$

Тогда прямые $$b$$ и $$c$$ параллельны между собой, так как две прямые, параллельные одной и той же прямой, параллельны друг другу. Это невозможно, поскольку они проходят через одну и ту же точку $$M$$, а значит, имеют общую точку.

Получили противоречие. Следовательно, наше предположение неверно, и по крайней мере одна из прямых $$b$$ или $$c$$ со прямой $$a$$ является скрещивающейся.

Ответ: либо $$a$$ и $$b$$, либо $$a$$ и $$c$$ — скрещивающиеся прямые.