Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.35 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС отмечены точки К, L и М так, что $$АК:КВ=2:3$$, $$BL:LC=1:2$$ и $$СМ:МА=3:1$$. В каком отношении точка пересечения отрезков KL и ВМ делит отрезок ВМ?
Обозначим точку пересечения отрезков $$KL$$ и $$BM$$ через $$P$$.
Применим теорему Менелая к треугольнику $$ABC$$ для секущей $$KLPD$$, где $$D$$ — точка пересечения прямой $$KL$$ с продолжением стороны $$AC$$.
Имеем:
$$\frac{AK}{KB}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot \frac{CD}{DA}=1.$$
Подставим данные отношения:
$$\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{CD}{DA}=1,$$
откуда
$$\frac{CD}{DA}=3.$$
Тогда
$$AC=CD-DA=3DA-DA=2DA.$$
По условию $$CM:MA=3:1$$, значит
$$AC=CM+MA=3MA+MA=4MA,$$
следовательно,
$$MA=\frac{DA}{2}.$$
Теперь найдём $$DM$$:
$$DM=DA+AM=DA+\frac{DA}{2}=\frac{3}{2}DA.$$
Применим теорему Менелая к треугольнику $$MBC$$ для секущей $$P K L$$:
$$\frac{MP}{PB}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot \frac{CD}{DM}=1.$$
Подставим найденные отношения:
$$\frac{MP}{PB}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2DA}{3DA/2}=1,$$
то есть
$$\frac{MP}{PB}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}=1.$$
Отсюда
$$\frac{MP}{PB}=1.$$
Значит, точка $$P$$ делит отрезок $$BM$$ пополам.
Ответ: $$1:1$$.
