Упр.348 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Высота конуса равна $$8\ \text{дм}$$. На каком расстоянии от вершины конуса надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна: а) половине площади основания; б) четверти площади основания?

Пусть $$h=8$$ дм — высота конуса. Если провести плоскость, параллельную основанию, то сечение будет подобно основанию, а все линейные размеры уменьшатся в одинаковое число раз.

Пусть расстояние от вершины до секущей плоскости равно $$x$$. Тогда радиус сечения относится к радиусу основания как $$\frac{x}{h}$$, а площади относятся как квадраты соответствующих линейных размеров:

$$\frac{S_{\text{сеч}}}{S_{\text{осн}}}=\left(\frac{x}{h}\right)^2.$$

а) Если $$S_{\text{сеч}}=\frac12 S_{\text{осн}}$$, то

$$\left(\frac{x}{8}\right)^2=\frac12,$$
$$\frac{x}{8}=\frac{1}{\sqrt2},$$
$$x=\frac{8}{\sqrt2}=4\sqrt2\ \text{дм}.$$

б) Если $$S_{\text{сеч}}=\frac14 S_{\text{осн}}$$, то

$$\left(\frac{x}{8}\right)^2=\frac14,$$
$$\frac{x}{8}=\frac12,$$
$$x=4\ \text{дм}.$$

Ответ: а) $$4\sqrt2$$ дм; б) $$4$$ дм.